The Method of Weighted Residuals for Solving the Longitudinal Vibration of Underground Pipeline Under the Effect of Earthquake
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摘要: 埋地管道是重要的生命线工程, 地震时由于土壤与管道的相互作用而引起管道的运动, 在管道中产生地震应力, 应力过大会引起管道的破坏, 从而影响管道的安全运行。针对地震作用下埋地管道纵向振动微分方程, 提出以满足边界条件和初始条件的三角函数作为试函数, 用加权余量法计算地震作用时管道的纵向运动位移反应, 进而可求出管道中的纵向应变、应力, 确定出管道应具有的强度。给出的算例表明, 所给出的方法能有效地对地震作用下埋地管道纵向振动进行计算, 可为工程中埋地管道的抗震设计提供参考。Abstract: The interaction between the pipeline and soil during earthquake may cause the pipeline deformation, result in stress in pipeline and affect the pipeline safety. Considering the differential equations of the longitudinal vibration of underground pipeline under the effect of earthquake * this paper selects the tri-angle functions as trial functions to satisfy the boundary and initial conditions. Using the method of weighted residuals computes the longitudinal reaction of pipeline to earthquake. It may compute the strain and stress in pipeline, then determine the strength of pipeline. One computation example shows that the method can effectively compute the longitudinal vibration of underground pipeline under the effect of earthquake. It may be useful to the anti-earthquake design for underground pipeline.
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Keywords:
- buried pipeline /
- anti-earthquake design /
- calculation /
- method
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埋地管道是重要的生命线工程, 如何确保埋地管道在地震时安全可靠地运行, 是管道工程设计迫切需要解决的问题〔1〕。本文利用加权余量法, 计算了埋地长输管道地震作用时的纵向运动反应, 可为工程中埋地管道的抗震设计提供参考。
一. 地震作用时埋地管道纵向振动方程
埋地管道通常很长, 实际计算时可取其中的一段长度L进行分析。当L取的足够长时, 边界条件对所取分析段中间部位的反应影响较小, 故可将分析段视为可自由轴向移动的边界, 其计算模型如图 1所示。图中, m为管道单位长质量, Ep为管道材料弹性模量, F为管道横截面面积, CA、KA分别为土壤与管道的相互作用阻尼和刚度。
在图 1的坐标系中, 以u(x, t)表示t时刻管道x截面沿管道轴向的绝对位移, ug(x, t)地震沿管道轴向的激励, 则管道纵向振动微分方程为〔2, 3〕:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E1.png")
(1) 其边界条件为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E2.png")
(2) 初始条件为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E3.png")
(3) 二. 管道纵向振动求解的加权余量法
取管道纵向位移表达式为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E4.png")
(4) 根据边界条件方程(2), 取振型函数为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E5.png")
(5) 对应的无阻尼自振频率为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E6.png")
(6) 令
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E7.png")
(7) 将式(5)、(7)代入式(4), 则管道纵向位移既满足边界条件式(2)又满足初始条件式(3), Cn为待定常数。
将式(4)代入式(1)得到余量函数R(x, t)〔4〕:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E8.png")
(8) 沿管道以等间距
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E9.png")
(9) 式中 {α}——t时刻待求系数列阵。
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E10.png")
(10) [C]、{B}分别为t时刻已知系数矩阵和列阵, 其元素为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E11.png")
(11) ![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E12.png")
(12) 求解方程(9)可得到t时刻系数列阵{α}, 当N取的足够大时, t时刻管道的纵向位移可足够精确地由下式得到。
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E13.png")
(13) 改变时刻t, 即可得到管道不同时刻位移, 进而可确定管道中的应变及应力。
三. 算例
设有一正弦加速度脉冲波在场地沿管道的纵向从O点向另一端传播(如图 1所示), 传播速度为c, 则场地的加速度表达式为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E14.png")
(14) 相应的场地位移表达式为:
![](/fileYQCY/journal/article/yqcy/1997/12/href="yqcy-16-12-30-E15.png")
(15) 计算中, 脉冲参数取
由以上分析及算例可以看出, 用加权余量法可方便求解地震波作用下管道纵向反应, 可为工程中地下管道抗震设计提供参考。
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[1] 刘昆 张宗礼(译): 管道的抗震设计施工与监护, 地震出版社(北京), 1992 66-92。 [2] Zerva, A. . Pipeline Response to Directionally and Spatially Correlated Seismic Ground[J]. Journal of Pressure Vessel Technology, 1993(2) 115, 53-58.
[3] 屈铁军 王前信. 地下管线多点激励纵向振动的级数解, 地震工程与工程震动[J]. 1993(4) 13, 39-45。 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-DGGC199304005.htm [4] 刘北辰(主编): 工程计算力学, 机械工业出版社(北京), 1994 11-163。
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