在设计油气管道时，常将工艺管道依山就势地敷设在地上，这就自然地使管道形成许多直管和弯管的组合。显然，弯曲管段对整条管道有一定的热补偿能力。但对于具有大曲率半径非90°弯管的自体补偿能力还是个有待探讨的问题，笔者运用力法对该问题作如下分析讨论。

1.   基本理论及公式的推导

1.1   基本理论

根据约束情况可把整个管道分成若干段。假设每段管路的两端为完全约束(这样假设偏于保守^{〔1, 2〕})，并讨论弯管所对圆心角θ限于0°~180°范围的管路(下称管系)，其力学简化模型如图 1；其弯管力学模型引入刚臂后的基本结构见图 2。

图  1  弯管的力学简化模型

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图  2  弯管力学模型引入刚臂后的基本结构

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要计算管系中的热应力，需首先求得支座处的弹性力。弯管力学模型引入刚臂后的力法方程为

式中   δ_XX、δ_XY、δ_XM——分别表示P_X、P_Y、M_XY等于1时, 使d点在X方向产生的位移;

δ_YX、O_YY、O_YM——分别表示P_X、P_Y、M_XY等于1时, 使d点在Y方向产生的位移;

δ_MX、δ_MY、δ_MM——分别表示P_X、P_Y、M_XY等于1时, 使d点产生的角位移;

△X、△Y——分别表示管系在X、Y方向上的热伸长量。

对于大曲率半径的弯管，以及带弯头的Γ型补偿器，只需要考虑它的弯曲变形^〔3〕。并可由材料力学的变形能原理得如下变形系数

式中  I_X、I_Y——分别表示管系对X、Y轴的线惯性矩；

I_XY——管系对X、Y轴的线惯性积;

S_X、S_Y——分别表示管系对X、Y轴的线静矩；

l——管系的长度；

E——管材的弹性模数；

J——管子截面的惯性矩；

EJ——代表管子刚度，常数。

若将刚臂引至管系重心处，则S_X、S_Y为零, 式(1) c得M_XY=0。变形系数的符号^〔4〕依位移和作用力的方向来确定，主系数δ_XX、δ_YY恒为正值，副系数δ_XY(δ_YX) 因力的方向Y (X)与其力产生的位移方向X (Y) 相反，故为负值。对于热伸长量符号^[8]，如果热伸长与坐标轴方向相同时取负值，反之取正。这时如将式(2)中的系数代入式(1)得

联立解式(3)得重心处的弹性力P_X、P_Y(如果结果为负值，表示弹性力的方向与假设方向相反)

1.2   弯管柔性的影响

对于弯曲管段，因受力的作用，截面发生变形，出现扁率，其刚度由EJ降到KEJ。称K为截面的减刚系数(K < 1)，如同管系增长了(倍数为1/K)弹性长度^〔1〕。故凡与弯管展开长度发生关系时，一律用弹性长度，也称作折算长度，即为展开长度的1/K倍。减刚系数的大小仅取决于弯管的特性系数λ，即

式中   λ——弯管的特性系数, λ=OR/r²;

δ——管壁厚度;

R——弯管的曲率半径；

r——管子的平均半径。

1.3   热伸长量的计算

管系在坐标轴X、Y方向上的热伸长量△X、△Y，就等于管系两端点的直线长度在X、Y轴方向上的投影与该管单位长度热伸长量的乘积^{〔1, 3〕}

式中  a——管材的线膨胀系数；

△t——工作或环境温度t₁(取其大者)与安装温度t₀之差, △t=t₁-t₀

l₁、l₂——分别表示弯管段所连的直管部分长度；

θ——弯管所对的圆心角；

其余符号同前。

1.4   管系的重心位置

1.4.1   弯管段的重心位置^〔5〕 (见图 3)

图  3  弯管段重心示意图

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由图 3可得X=-Rcosβ, Y=Rsinβ, dS=Rdβ

这里考虑减刚系数后，可得弯管段对X和Y轴的线静矩S_X和S_Y，进而可求出弯管段的重心位置X_RC和Y_RC

1.4.2   管系的重心位置

参考图 4，以X₀和Y₀为坐标轴得到管系重心位置坐标X_C和Y_C^{〔8, 7〕}

图  4  管系的几何尺寸示意图

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式中  l——管系的弹性长度，

X_C、Y_C——分别为管系重心到Y₀、X₀轴的距离；

其余符号同前。

1.5   管系的固有线惯性矩和线惯性积

1.5.1   管系各管段的固有线惯性矩和线惯性积

参见图 3可得

ab段:

bc段:

1.5.2   各管段重心对管系重心的坐标^〔8〕

ab段:

bc段：

cd段：

1.5.3   管系的固有线惯性矩和线惯性积

1.6   弯曲力矩的计算^〔9〕

首先规定，弯矩逆时针方向为正，顺时针方向为负。

1.6.1   管系上某断面弯曲力矩表达式

式中  x₀、y₀——分别为管系上任意一计算断面中心对X₀、Y₀轴的坐标。

其余符号同前。

1.6.2   几个特殊点及任意一点的弯曲力矩

式中  M_p——管系上任意一点的弯曲力矩；

M_a、M_b——分别为图 4中a、b点的弯曲力矩；

M_c、M_d——分别为图 4中c、d点的弯曲力矩;

β——弯管上任意点对应的圆心角。

对式(16)中的M_p式求导数，并令其等于零，得到弯管部分弯曲力矩极值

分析可知，P_X/P_Y是推力线的斜率，而斜率为P_X/P_Y的直线与推力线垂直(两者相差90°)，它与弯管部分的交点为其弯曲力矩的极值点。

1.7   最大弯曲应力

式中  M_max—管系中最大弯曲力矩；

W—管子截面的抗弯系数；

f——弯曲应力增强系数，对于直管截面f= 1，对于弯管截面可用式(18)求解

2.   算例

某油库管道上安装有如图 4的弯管，试计算它的热应力分布情况。

2.1   已知条件

l₁=34m, l₂=18.91m, R=22.75m, θ= 102°(1.78rad), E=2.0×10⁷N/cm², J=717.88cm⁴, a =1.2×10^-5 1/℃, △t = 40℃, W=90.3cm³, 管子规格为ϕ159× 5mm。

2.2   求解(过程从略)

(1) 弹性长度l可先由λ=δR/r²得λ=20.5, 由式(5)得K=0.998, 再用式(8)求出l=93.49(m)。

(2) 管系重心坐标可由式(7) 求得: X_C=11.88(m), Y_C=38.62(m)。

(3) 管系各管段的固有线惯性矩和线惯性积可由式(9)~(11)得:

ab段: I_abx=3275.33(m³),

I_aby= 0, I_abxy= 0;

bc段: I_bcx=2031.62(m³),

I_bcy=2959.65(m³),

I_bcxy=2185.55(m³);

cd段: I_cdx=24.3(m³),

I_cdy=539.19(m³),

I_cdxy=-114.48(m³)。

(4) 各管段重心对于管系重心的坐标可由式(12)~(14)得:

ab段: X_ab= 11.8(m),

Y_ab=21.62(m);

bc段: X_bc=1.63(m),

Y_bc=-10.82(m);

cd段: X_cd= -24.84(m),

Y_cd=-15.67(m)。

(5) 管系的固有线惯性矩和线惯性积可由式(15)得: I_x=30617.36(m³)，I_y=20073.17(m³)，I_xy=17448.78(m³)。

(6) 管系的热伸长量可由式(6)得: △X=2.207×10^-2(m)，△Y=2.512×10^-2(m)。

(7) 管系重心处的弹性力可由式(4)得: P_X=4.08(N), P_Y= 5.343 (N)。

(8) 管系各断面的弯曲力矩由式(16)计算得: M_a=94.1(N·m), M_L= -44.6(N·m), M_c=11.4(N·m), M_d=126.3(N·m), M_p= -76(N·m)(此时β= 37.4°)。

(9) 管系各点的弯曲热应力由式(17)可得σ_a=1.04×10⁵(Pa), σ_b=-4.9×10⁵(Pa), σ_c=1.3×10⁵(Pa), σ_d=14.0×10⁵(Pa), σ_p=-8.4×10⁵(Pa)。σ_p算式中的f =0.994，其余的取f=1。管系弯曲热应力分布如图 5所示。

图  5  管系弯曲热应力分布图

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综上所述之后还有以下几点说明：

(1) 本文导出的公式是由两段直管和一段弯管组合成的管系热应力计算公式。弯管所对的圆心角90°时，是该计算公式的一种特殊形式。

当R= 0时，公式适用于计算两直管任意角Γ型补偿器的热应力，此时θ=180°- θ₀(θ₀为两直管间的夹角, 取θ₀=0°~180°)。两直管90°Γ型补偿器热应力的计算是R= 0时计算公式的一个特例。

(2) 计算时, 将l₁作为长臂, l₂作为短臂这样会给计算带来方便。

(3) 对于具有大曲率半径的管道，因K≈1，可以不考虑减刚系数的影响，但不能简化为两直管段来计算；对于小曲率半径的管道，则可简化为两直管段来进行计算。

(4) 图 1是管系简化的力学模型，实际上管系的“固定”支座并非力学上的固定支座那样完全约束，由此管子截面产生的热应力比计算的要小，这是有利于安全的，这种简化反应了管路的热应力分布规律。

(5) 管系最大弯曲热应力发生在短臂固定支座处。

(6) 笔者在运用力法讨论问题时，是先给出求解弹性力的公式，然后找出其中各项的计算方法。而在实际应用(算例)时恰好相反，大概步骤是：A.找重心位置；B.计算管系的惯性矩和惯性积；C.计算热伸长量；D.求解弹性力，其中重心处M_XY=0;E.计算弯曲力矩后即可求得最大热应力。