立式圆柱体钢罐盘梯，一般是在预制场分段加工预制成半成品，再安装在钢罐上。在预制时怎样确定盘梯的内、外侧板的曲率半径是个关键问题，曲率半径不合适，会给安装造成困难，甚至要切开重焊。过去一般是采取做模型按比例量出内侧板的半径，那样既麻烦也不准确。这次我们在某工程施工中，利用数学解析方法计算出内、外侧板的曲率半径，按照这个半径在平面上预制盘梯的半成品，将半成品安装在钢罐上都比较合适，加快了工程进度。

一.   盘梯内、外侧板曲线方程

立式圆柱体钢罐的盘梯的内、外侧板是沿钢罐外壁由下向上螺旋式上升的。为简单起见，将油罐看成为一个半径不变的立式圆柱体，把内、外侧板看作二条圆柱螺旋线，如图所示。

圆柱螺旋线的参数方程式如下:

式中：α——旋转角度，以弧度表示，从盘梯起点计算；

φ——螺旋上升角，即梯子的上升角；

R——螺旋线所围绕的圆柱体的半径，即钢罐半径加上侧板与罐壁的距离。

二.   圆柱螺旋线的曲率和曲率半径

设: 是空间曲线的方程式，则该曲线的曲率k可由下式表示。

而曲线的曲率半径ρ是曲率k的倒数，

上述式中, t是变量, r、x、y、z都是t的函数。

r(t)是向量, r'(t) 和r" (t) 是r(t)对t的一阶和二阶导数。

|r'(t)|是向量; r'(t)的长度,

r'(t) ×r" (t)是向量r'(t) 和r" (t)的向量积。

若要详细了解以上公式，可参阅空间解析几何学和微分几何学。

圆柱螺旋线是空间曲线的一种特定曲线，它的方程式为：

式中α是变量，

这是式(1) 已给出的。

r(α)的一阶和二阶导数如下：

现将其曲率半径ρ的各项分别进行计算。

将式(7) 和(9)代入式(3), 则得:

同理

从(10)式中可以看出，曲线的曲率半径ρ与R和φ有关，R越大，曲率半径ρ也越大，反之亦然。这是很容易理解的。梯子的上升角φ越大，也就是梯子越陡，曲率半径ρ也越大，若是ρ=90°，成为直爬梯时，其曲率半径ρ就趋于无穷大了。反之，上升角φ越小，ρ也越小, 当φ→0°时, ρ→R, 这也是可以理解的。

三.   应用

在某工程中，我们建了15个3350立方米的立式圆柱体钢罐，罐高H 14.7米，直径D17.15米。我们将盘梯分成四节预制成半成品，安装到罐上都很合适。盘梯外侧板的曲率半径ρ计算如下：

外侧板的上升角φ=45°, tgφ=1

外侧板距钢罐壁0.707米，故外侧板所围绕的圆柱体的半径R：

则外侧板的曲线方程式为：

它的曲率半径可用(10) 式求出：

对于盘梯的内侧板说，它的上升角φ=47°3' 29", tgφ为1.0745543, 它的圆柱体半径R为8638毫米。而

他的曲线方程式为：

内侧板的曲率半径按式(10) 求出如下：

盘梯的预制一般是在平台上进行的。外侧板的半径应比内侧板的半径大一个梯子的宽度。而上面计算的结果是内侧板的曲率半径比外侧板还大48毫米。这就发生了矛盾。我们考虑到侧板与踏步的钢板都不太厚，都有一定的弹性。我们就采用内、外侧板的平均曲率半径作为梯子中心线的半径，制成盘梯的半成品，安在钢罐上，都能圆满地达到设计要求。

在实际工作中，只要记住公式(10)

就行。若是盘梯的上升角φ=45°，就只记住ρ为2R即可。用ρ等于2R来作半径预制盘梯，就能顺利地安装到钢罐上。