一.   引言

液体储罐的地震反应分析由于其重要性而引起了国内外的广泛研究。到目前为止，国内外已发表了不少研究报告和论文，提出了各自的分析方法和看法。就已发表的文章来看, 相. 当部分是对无盖刚性璧液罐的液动压力研究。用弹性变形理论进行液罐地震反应分析的文章主要集中在最近十余年间，而大部分文章仅限于系统的固有频率和主振型的研究。

石油系统广泛使用的储油罐，高径比大都比较小。关于这类结构的抗震设计, 到目前为止，有些文章仍倾向于应用Housner根据刚性壁假设进行近似计算所得到的液动压力计算公式进行分析。

浮顶罐是近年来石油系统开始广泛使用的储油罐，关于这类结构的合理的抗震分析，对于地震作用地区油罐的安全设计具有重大的意义。本文应用流体流动的速度势理论和壳体变形理论，应用有限元法，对高径比比较小的地面支承刚性浮顶罐的固有频率和在实际水平地面和速度作用下的动力反应进行了初步的分析，分析结果表明，即使高径比比较小，其柔性的影响亦不可低估; 而刚性浮顶的存在，主要影响靠近浮顶部位的壳壁中的位移和内力分布，对其他部位的影响不大。在此基础上编制的计算机程序，为抗震设计提供了方便。

主要符号说明

x, y, z——相对直角坐标系坐标轴;

r, θ, z——相对圆柱坐标系坐标轴;

ü₀(t)——地面加速度函数(L·J^-2);

E——Young氏模量(P.L^-2);

μ——泊松比;

ρ_L, ρ_s, ρ_I——分别为液体、壳体及刚性浮板的体积质量密度(P.S²·L^-4);

u, v, w——壳体中面的经向、环向和法向相对位移(L);

u_a, v_a, w_a——壳体中面的经向、环向和法向绝对位移(L);

u_m, v_m, w_m——环向谐波为m的壳体中面经向、环向和法向相对位移幅值(L);

S——壳体单元经向弧坐标(L);

ξ, η——液体单元自然坐标系坐标;

K₀——刚性浮项的弹箦刚度(P·L^-1);

M_B——刚性浮顶的总质量(P·S²·L^-l);

{ q_p}_m——液体单元节点压力向量(P·L^-2);

{q_pc}^m——液壳交界面处节点压力向量(P·L^-2);

{u_a}m, {u_p}_m——壳体节点绝对、相对位移向量(_L);

〔H〕, 〔N〕——液单元液动压力和壳单元位移插值函数矩阵;

〔K_LG〕_m, 〔K〕_m——分别为液体和壳体总刚;

〔E〕, 〔E₁〕——系统附加质量算子矩阵;

〔M〕, 〔M_p〕, 〔M_b〕——壳体总质、液体附加质量矩阵及考虑刚性浮顶引入的质量矩阵;

〔 〕, 〔〕, 〔〕——系统总刚、总质和阻尼矩阵;

R, H, L, h——壳体半径、液面高度、柱壳高度及壳体壁厚(L);

ξ_i——阻尼系数;

〔K₀〕——引入刚性浮顶后与浮顶有关的刚度阵;

S₁, S₂, S₁₂——壳体经向、环向及截面切向薄膜内力;

M₁, M₂, M₁₂——壳体经向、环向内力矩和截面扭矩。

二.   有限元动力平衡方程的导出

本文着重分析了图 1所示具有刚性浮顶、弹性壳体并固定于刚性地基上的储油罐。罐中流体视为理想流体，浮顶视为质量均匀分布的刚性圆板，并通过沿圆周方向均匀分布的线性弹簧与壳壁相连。分析过程中，略去了液体表面晃动的影响。

图  1  结构模型

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按上述假设，根据流体力学中的速度势理论，用图示圆柱坐标系，罐中流体的运动应满足:

边界条件：

对称条件:

将式(1)乘上变分δ_p(r, θ, z), 并进行体积分，

则

利用微分和变分的互换关系，将上式各项分别对r, θ, z进行分部积分，然后应用条件(2)、(3)，则可得到流体问题的泛函表达式:

应用式(4)、(5), 并利用三角函数的正交性，

式中: Ω1——液体在xoz平面上的截面;

l——浸润面长度。

而

液体单元取8节点等参数环元(图 2), 单元搜值函数为:

图  2  等参数单元

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令q_p1，······，q_pn为液体单元节点压力幅值，w₁，w₂······，w_k为壳体单元节点法向位移幅值，并取壳单元法向位移插值函数为N₁，N₂······，N_I，则在单元内, 有

利用(7)、(8)两式, 并迭加全部单元的贡献，则式(6)成为:

式中：

为液体单元刚度矩阵。

为单元附加质量算子矩阵。表示对所有单元求和，角标e则表示是在单元范围内。〔H₁〕是只与液壳界面处液体单元节点压力有关的插值函数矩阵。将式(9)作适当处. 理，然后令J的一阶变分为零，则得到流体问题的有限元方程：

注意到式(12) 中矩阵〔E〕在相应于非边界节点自由度的行上，其元素均为零，则将式(12)按浓壳边界节点和非边界节点适当组合并分块后，

有

即

其中：

为了导出系统有限元动力平衡方程，取浮顶一壳体系统进行分析。对于这个系统，取下述泛函形式:

式中: T——系统的动能，T=T_b+T_s;

U——系统的势能，U =Uk+_s;

W——液动压力对壳体所做的功。

设壳体中面在相对坐标系中的位移为:

浮顶弹簧系统的动能和势能可由下述分析得到。设在水平地面加速度作用下浮顶质心产生相对位移x₀ (z₀, t) 见图 3, 则在与弹簧相连的浮顶周边上各点的法向位移为:

图  3  浮顶储罐系统

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沿圆周方向任意点处弹簧的变形量为:

从而可得弹簧部分的弹性变形能:

同样，可得刚性浮顶的动能:

对于壳体，选取图 4所示单元，单元位移插值函数取为:

图  4  壳体环单元

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以单元节点坐标代入式(20)，并根据壳体变形理论，壳体的弹性势能可以下式表述:

其中壳体单元刚度矩阵〔K_a〕为：

略去壳体的转动动能项后，壳体的动能可表述为:

将式(16), (20)代入上式，并迭加全部单元的贡献:

其中: 〔M_e〕——单元质量矩阵。

以上诸式中，〔B〕_m、〔D〕、〔N_ST〕可见附录。

液动压力在壳体位移方向所做的功为:

将U_k中法向位移w_m以单元节点位移表示，再将U、T、W的表达式代入式(15), 并令δJ= 0。

则

将式(13) 中扩大为{ü_a}_m, 并代入式(27),

则

式(28)即为浮顶油罐系统有限元动力平衡方程。〔M_p〕，〔K₀〕为与浮顶有关的质量和刚度矩阵。若为一般的储油罐，则这二个矩阵在方程中不出现，这种情况下，式(28) 可表达为:

由式(28)、(29) 可见，系统受水平地面加速度作用时，主要激发系统相应于m=1的对称振动，而对于m≠1的对称和反对称振动影响不大。因而实际进行分析时，我们只需考虑相应于m=1的方程，其他方程只对系统自由振动有影响。

考虑阻尼影响，式(28)可写成一般形式：

在实际求解时，采用了子空间迭代法分析系统的本征问题，而实际的地面加速度历程反应分析，是应用Wi1lson法进行的。实际运算中，对单元矩阵采用了动态凝聚法，凝聚掉壳体单元中间节点自由度，降低了总刚和总质量矩阵的阶数。

三.   程序简介

以上述分析为基础编制了有限元动力分析程序，程序的主要功能如下:

1.壁厚可变的任意旋转空壳及圆柱形液罐(包括浮顶及一般旋转壳顶盖情况)任意环向谐波的本征问题分析;

2.水平地面加速度作用下系统的历程反应，包括壳体位移、内力及液动压力反应。程序采用了内外存结合的运算方案; 在液体总刚形成及凝聚阶段设计成分块运行，而在系统总刚形成及本征问题分析中，采用了轮廓线存储方案，从而有可能利用较小的内存计算较大的题目。

四.   算例分析

本文选用了下述算例的计算结果进行分析。算例1的有关参数见图 5。算例2和算例3均为无盖圆柱形钢制液罐。算例2的几何尺寸: R为18288毫米，L为12192毫米，h为25.4毫米算例3的几何尺寸: R为101.6毫米，L为226.8毫米，h为1.02毫米。

图  5  10000米³浮顶油罐计算参数

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1   固有频率分析

表 1给出了算例2相应于环向谐波m= 1情况下的固有频率比较。表 2为算例8于m=0，m= 1两种情况下的固有频率比较。由表可见，尽管单元网格划分较为粗糙，但仍然得到了较为满意的结果。表 3给出了算例1按有盖、无盖、实际壁厚、平均壁厚几种情况下的固有频率比较。由表可见，引入刚性浮顶的影响是使系统增加了一个固有频率, 这个频率主要取决于刚性浮顶的质量和弹簧刚度，但对系统其他振频影响不大。

表  1  不同深度液体固有频率比较(m=1)

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表  2  算例3的固有频率比较

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表  3  1000米³油罐几种情况固有频率比较(m= 1)

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图 6给出了算例2空罐和满罐两种情况下的振型比较。由图可见其液体的存在，严重影响了空壳振型的法向位移分量，特别是在储罐底部，其法向分量的变化率很大。

2   位移和内力反应

对算例通过输入各种波形(矩形、正弦波、实际的地震波), 分析了在相应水平地面加速度作用下的位移和内力反应。表 4给出了算例2在0.4g突加水平地面加速度作用下的内力反应比较。图 7给出了R为8250毫米，L为14110毫米，h为10毫米，且具有锥顶盖的圆柱形液罐(水面高度H= L)在同样载荷条件下的经向力和环向力分布曲线。图 8为实际地震波——EI波。通过输入EI波，计算了算例1在有盖和无盖两种情况下的位移历程反应。刚性浮顶的质量包括了浮船及附件的全部质量，弹性系数K。是按剪刀式密封结构的特点, 简化为重力弹簧后取几个位置处弹性系数的平均值进行分析的。实际输入的地面加速度记录时间为0~6.24秒。罐中油品高度H为13447毫米。图 9给出的是t=2.24秒时壳体节点位移反应曲线。图 10给出的是浮顶罐在z为8701毫米和z为13447毫米处的法向位移历程反应。

图  6  算例2空罐和液罐振型比较

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表  4  满液罐和空罐内力反应最大值比较(ξ=0.035，θ=0)

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图  7  锥盖液罐内力分布

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图  8  实际地震波——EI波

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图  9  算例1的节点位移反应比较(θ=0平面)

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从所列图表说明: 罐内液体的存在, 对壳体强度的影响是不可低估的，水平地面加速度所引起的储油罐的最大位移和内力反应基本上都发生在靠近基础的储罐部位。这个结果与储油罐震害破坏情况是较吻合的。由图 9、图 10可见，刚性水平浮顶的存在，对油罐其他部位影响不大，但在靠近浮顶部位的附近，出现位移突变区域。十分明显，这是由于浮顶的水平惯性力对壳壁的作用所致。但需要指出，在实际的浮顶罐中，浮顶通过密封圈与壳璧相连，且浮船运动过程中所受到的阻尼比假设的要大，因而实际位移可能小于目前计算所得到的结果。

图  10  实际地震波(EI波)所引起的壳体法向位移反应

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3   储罐柔性对液动压力分布的影响

储油罐的柔性显著地影响液动压力的分布和幅值，在相同的液体和外载条件下，柔性较大的储油罐将由于被激发幅值较大的相对加速度而产生较大的液动压力。图 11给出了算例2在0.4g突加水平地面加速度作用下，视为刚性和考虑柔性两种情况下所得到的结果。由图可见，在考虑柔性的情况下，其液动压力最大值可达视为刚性情况下的1.7倍。

图  11  算例2的流体动压力比较(θ=0平面)

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关于高径比比较小的短粗储油罐中流体动压力计算，目前一般是应用刚性壁流体动压力公式进行计算的。应用梁理论进行弹性储油罐反应分析，是有可能得出这个看法的。但根据本文计算结果，截面畸变反应在储油罐全部振动反应中占有相当的比重，特别是对于L/R较小的短粗罐，当其壳变形刚度不是很大时，载面畸变反应将成为反应的主要部分，这就使得罐壁在振动过程中产生幅值较大的相对加速度而导致了较大的流体动压力的产生。

五.   结论

本文应用有限元法，对储油罐的固有频率及其在水平地面加速度作用下的动力反应作了一些初步分析。分析结果表明，罐壁的弹性或柔性对液动压力的分布和幅值有较严重的影. 响。对于高径比比较小的储油罐，罐壁的柔性也不能忽视。一个算例表明，考忠罐壁的柔性后，最大液动压力将增加1.7倍。

应用本文中的方法和程序可以计算变壁厚的实际储油罐(包括具有刚性浮顶的浮顶油罐)壳壁中的内力和应力。一个算例的结果是储油罐侧壁与底连接处的径向弯矩M₁，空罐时为6.36公斤.厘米/厘米，而满罐时为645.9公斤·厘米/厘米; 环向弯矩M₂, 空罐时为9.74公斤.厘米/厘米, 而满罐时为335.8公斤·厘米/厘米。刚性浮顶的存在，仅略增大靠近浮顶部位罐壳的法向位移和相应的内力，对其它部位影响不大。

应该指出，本文的分析尚是初步的。更深入一步的分析，还应包括液体晃动、壳体不圆度、地基弹性等影响，各种不同周期地震波作用，及在地震波作用下，克壁的屈曲机理等。

附录

本附录主要给出弹性知阵〔D〕、应变位移变换矩阵〔B_m〕，及矩阵〔N_ST〕。

其中：s'=s/l

而

矩阵〔N_ST〕为：