一.   前言

在成品油顺序输送时，两种油品的接触面将产生一段混油^[1]。掌握混油浓度随时间和位置的变化规律，是研究顺序输送技术、指导作业调度、计算混油量和正确实施管道终端切换油品的重要条件。传统的分析方法是经过大量简化的一维混油模型，但是在解释混油的形成、发展及截面速度分布对混油影响上不够精确。

两油品间的混油过程其实是二维对流占优扩散过程^[2]。对于对流占优的扩散方程的求解，前人进行了许多有益的探讨和研究^[3~6]，而且对流占优的扩散问题在实际工程中经常会遇到，如何准确地进行数值求解值得研究。由于对流项占优，一些常用的数值法将会遇到某些共有的困难。例如，计算得到的数值具有较大的数值扩散或较大的非物理性振荡现象，因此研究对流占优问题的新的数值法具有十分重要的意义。本研究采用时间分裂法将二维对流扩散方程分为纯对流方程和纯扩散方程，借助于特征线法求解纯对流方程。对于纯扩散方程求解，由于有限差分法具有概念清晰、容易编程实现等优点，广泛用于各种偏微分方程的求解，因此被采纳。但离散的代数方程组是五对角形式，不能用追赶法求解，因而影响计算效率。本研究再次使用时间分裂法(即交替方向隐式法)，可将构成的差分五对角形成格式转化为三对角线形方程组，使其转化为一维隐式格式，具有计算速度快、存储量小且无条件稳定等优点^[7]。

二.   油品的混油机理

在不同的流态下，油品在管道内交替时产生混油的机理是不同的。在层流或者紊流强度不大的流动情况下，由于管中心液体的流速要比平均流速大一倍，使得后行油品的油头呈楔形钻入前行油品当中，造成了截面上两种油品的不均匀分布。同时，在油品的密度差及浓度差作用下，两种油品相互扩散，并由此产生了相当大的混油量。层流时的混油主要是由于管道截面上流速的不均匀分布造成的。

紊流时，其混油界面的速度分布比较均匀，对流传递不显著，扩散传递过程成为影响混油的主要原因。紊流中的涡流扩散引起一个附加的扩散，在径向上，该附加扩散比分子扩散大很多，这大大加强了径向分子扩散的作用。紊流轴向扩散对传递过程的影响可以忽略不计，因而径向扩散阻碍了混油的轴向伸展，使得紊流时的混油量大大少于层流。因此，为了减少混油量，顺序输送管道必须在紊流下运行。

三.   混油模型

1   基本方程

为推导顺序输送混油数学模型，做如下假设。

(1) 仅考虑速度分布、分子扩散及紊流脉动扩散对混油的影响。

(2) 速度边界层采用三层结构模型，速度分布用经验公式。

(3) 流动为充分发展的紊流，单一油品区和混合区具有相同的速度分布。

(4) 浓度量采用时均值，引入紊流扩散系数，综合扩散系数为分子扩散系数和紊流扩散系数之和。

由组分连续性方程和Fick扩散定律得到圆柱坐标系下描述混油过程的数学模型^[2]：

边界条件:

式中c——油品A的相对体积浓度；

c₀——油品A初始体积浓度，取0.5；

x——距管道起点的距离；

r——径向坐标；

τ——时间；

R——管道半径；

u——管道内油流速度；

D——综合扩散系数。

2   管内速度分布与扩散系数

管内速度分布与扩散系数如下。

u⁺=y⁺且D=D_l，层流底层：

D=D_b=u_*(R—r)/5-ν+D_l，缓冲层：

D=D_t=u_*r(R—r)/(2.5 R)，紊流核心区：

式中D_l——分子扩散系数；

u_*——摩擦速度；

y——某点距管壁距离；

ν——运动粘度。

四.   数值求解

数值求解就是在任一时步[nΔτ，(n+1)Δτ]，将对流扩散方程(1)分解成纯对流方程和纯扩散方程，在[nΔτ，(n+1/2)Δτ]半时步用特征线法求解纯对流方程。在[(n+1/2)Δτ，(n+1)Δτ]半时步用差分法求解纯扩散方程。二维混油模型纯扩散方程隐式差分方程组是五对角形式。化五对角阵为三对角阵，即可用追赶法求解。最方便的分解法是将未知数分为沿x和r方向的两组。将对流扩散方程离散为：

式中Δr——离散网格尺寸。

纯对流方程：

沿特征线法：

离散式为：

纯扩散方程：

在纯扩散方程进行离散时，交替方向隐式在时间层内分两步计算，中间引入一个过渡层。

在时间层内，对空间变量x的偏导使用显式，对空间变量r的偏导使用隐式，得到式(11)二维离散化混油纯扩散方程。

在时间层内，对空间变量x的偏导使用隐式，对空间变量r的偏导使用显式，得到式(12)二维离散化混油纯扩散方程。

将式(11)与式(12)转化为交替方向隐式格式(ADI格式)，见式(13)和式(14)。

五.   边界条件处理

l、r=0

为了克服奇异现象，将直角坐标形成的对流纯扩散方程化为一维隐式差分格式，见式(15)。

2、r=R

r=R时，方程表述式见式(16)。

3、r=j_bΔr

在层流底层与缓冲层的交界点处，因速度与扩散系数不同于这两个区域，因此单独建立浓度平衡方程式(见式(17)和式(18))。

4、r=j_tΔr

缓冲层和紊流核心区交界结点j_t处的纯扩散方程隐式差分方程类似，仅需将j_b、D_l、D_b分别换成j_t、D_b、D_t即可。

六.   算例分析

假设管长30 km，内径为500 mm的成品油管道，以1 m/s速度顺序输送两种牌号的柴油，取D_l=10^-6 m²/s，ν=6×10^-6 m²/s，轴向结点i=1，2，3，…，30 000，径向结点j=1，2，3，…，50。截面上浓度分布见图 1。

图  1  截面上的混油浓度分布

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图 1给出了后行油品前行10 000 S时，轴向结点i=9 800，9 900，10 000，10 100，10 200五个截面上的径向浓度分布。可以发现，混油段在任一截面上浓度分布比较均匀，管壁附近，浓度梯度较大。这是因为在紊流状态下输送油品，紊流核心区内的紊流扩散强度要比分子扩散大得多，强劲的紊流径向扩散，使液体质点发生剧烈的横向交换，中心区域内速度较快的油品将边缘滞后的油品迅速带走，大大缩短了混油段长度；而在管壁附近，横向脉动效应弱，分子扩散占优使得浓度分布趋于均匀一致的能力较弱，因此，顺序输送总是取紊流而避免层流。同时，在图形中也明显地显示出了沿管道轴向，中心浓度梯度存在先增加后减少的变化趋势，但变化幅度并不均匀，这正与工程上发现的混油段相对于50% 浓度的混油界面不对称的现象相吻合(见图 2)。因此，产生混油浓度非对称分布的原因，除了初始混油、后行油品对前行油品的冲刷等因素外，管道横截面速度分布的不均匀性对混油浓度非对称分布的影响也是比较显著的。

图  2  混油浓度分布

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随着油品在管内运行时间的延长，混油段延长，但增长率下降。这是因为随着混油界面不断前进，对流与扩散同时进行，所以混油段逐渐增大。但是，由于沿轴向的浓度梯度下降，扩散传质作用下降，因而混油段的增长率逐渐下降。

从图 2也可以明显地看出，截面平均浓度分布关于50%的混油截面并非对称，混油头短，混油尾长，这与实际情况相符。

七.   结论

将特征线方法和有限差分法相结合，提出了一种求解对流占优扩散方程数值解——双时间分裂法，并将此算法应用到成品油顺序输送中，求解结果较好地解释了速度分布及边界层对混油的影响，从而证明了该方法准确性。与同类方法相比较，该方法具有计算速度快、存储量小且无条件稳定等优点，同时还具有概念清晰、易于实现等特点。